نمایش نتایج 1 تا 9 از 9 مجموع
  1. #1
    مدیر بازنشسته
    تاریخ عضویت
    Nov 2010
    موقعیت
    مشهد
    ارسالها
    1,812
    تشکر
    8,723
    تشکر شده 6,711 بار در 1,943 پست

    پیشفرض هندسه تحلیلی

    ضرب خارجی


    Click here to enlarge
    ضرب خارجی که به آن ضرب برداری نیز گفته میشود،یک عمل دوتایی در یک فضای سه بعدی است که بر روی دو بردار اعمال میشود.حاصل این عمل برداری است که بر دو بردار مذکور عمود است.جهت این بردار از طریق قانون دست راست بدست می آید.

    تعریف

    دو بردار AوB را در نظر میگیریم و زاویه بین این دو بردار را Click here to enlarge فرض میکنیم در این صورت ضرب خارجی این دو بردار به صورت زیر تعریف میشود:

    Click here to enlarge

    فرض کنیم دو بردار مذکور بر حسب بردارهای واحد i و j و k و به صورت زیر تعریف شده باشند:

    Click here to enlarge
    Click here to enlarge

    در این صورت ضرب خارجی دو بردار ( بدون نیاز به داشتن زاویه بین آنها) به صورت زیر تعریف میشود:

    Click here to enlarge

    خصوصیات

    خصوصیات هندسی

    Click here to enlarge
    حجم متوازی السطوحی که روی سه بردار
    ساخته شده است از ضرب سه گانه این
    سه بردار حاصل میشود.

    اندازه ضرب خارجی برابر مساحت یک متوازی الاضلاعی است که بر روی دو ضلع a و b ساخته شده است. یعنی داریم:

    Click here to enlarge
    همچنین حجم یک متوازی السطوح که بوسیله بردارهای a و b و c ایجاد شده است برابر ضرب سه گانه زیر میباشد:

    Click here to enlarge


    ویژگیهای جبری


    • ضرب خارجی دو بردار خاصیت جابجایی ندارد:

    Click here to enlarge

    • ضرب خارجی دو بردار خاصیت توزیع پذیری نسبت به عمل جمع دارد:

    Click here to enlarge

    • ضرب یک عدد اسکالردارای خصوصیت زیر خواهد بود :

    Click here to enlarge

    • این ضرب شرکت پذیر نیست. ولی در اتحاد ژاکوبی صدق میکند:

    Click here to enlarge

  2. تشکرها از این نوشته :


  3. #2
    مدیر بازنشسته
    تاریخ عضویت
    Nov 2010
    موقعیت
    مشهد
    ارسالها
    1,812
    تشکر
    8,723
    تشکر شده 6,711 بار در 1,943 پست

    پیشفرض

    ضرب داخلی


    در ریاضیات فضای ضرب داخلی یک فضای برداری است. ضرب داخلی یا ضرب اسکالر به ما این امکان را میدهد که مفاهیم هندسی از قبیل زاویه و طول یک بردار را تعریف نماییم.با وجود آنکه در این نوع ضرب دو بردار در هم ضرب میشوند ولی حاصلضرب این دو بردار یک عدد اسکالر است.ضرب داخلی در ریاضیات،مهندسی،وفیزیک کاربردمای فراوانی دارد

    تعریف

    ضرب داخلی دو بردار uوvرا باClick here to enlarge نشان میدهند. ضرب داخلی در یک فضای برداری حقیقی از چهار ویژگی مهم تبعیت میکند.فرض کنید u،vوهمچنین w سه بردار وClick here to enlargeیک اسکالر باشدآنگاه:

    1.Click here to enlarge

    2.Click here to enlarge

    3.Click here to enlarge

    4.Click here to enlarge و برابر صفر است هرگاه v=0 باشد.

    تعاریف زیر را برای ضرب داخلی ذکر میکنیم:
    1. در حوزه اعداد حقیقی به صورت زیر بدست میآید:

    Click here to enlarge

    2.در فضای n-بعدی حاصلضرب داخلی از رابطه زیر بدست میآید:

    Click here to enlarge

    به عنوان مثال در فضای دو بعدی میتوان ضرب داخلی دو بردار را از رابطه زیر محاسبه کرد:

    Click here to enlarge
    نرم در فضای ضرب داخلی

    در فضای ضرب داخلی نرم یک بردار به صورت زیر تعریف میشود:

    Click here to enlarge

    در واقع بوسیله نرم یک بردار میتوان طول آن بردار رابدست آورد.

    نامساوی کوشی-شوارتز


    Click here to enlarge

    البته دقت کنید که دو برداری که در این نامساوی صدق میکنند باید وابسته خطی باشند.

    محاسبه زاویه بین دو بردار


    پس از مطالعه این مطالب شاید از خود بپرسید که این روابط دارای چه فوایدی هستند و چه لزومی دارد که این روابط را بدانیم؟
    فرض کنید دو بردارداریم که مختصات آنها معلوم است،حال میخواهیم زاویه بین این دو بردار را بدست آوریم برای این کار از فرمول زیر استفاده میکنیم:

    Click here to enlarge

    باید توجه کرداین فرمول زاویه بین دو بردار را در فضای دو بعدی محاسبه میکند.

  4. تشکرها از این نوشته :


  5. #3
    مدیر بازنشسته
    تاریخ عضویت
    Nov 2010
    موقعیت
    مشهد
    ارسالها
    1,812
    تشکر
    8,723
    تشکر شده 6,711 بار در 1,943 پست

    پیشفرض

    هذلولی

    تعریف

    هذلولی مجموعه نقاطی از صفحه است که تفاضل فواصل هر یک از آن ها از دو نقطه ی ثابت در صفحه مقدار ثابتی باشد.
    کاربرد

    مسیر های هذلولوی در نظریه نسبیت اینشتین مطرح می شوند و اساس سیستم هوانوردی رادیویی لوران LORAN: Long Range Navigation - - نیز هستند. مسیر ستاره ی دنباله داری که به خورشید خودش بر نمی گردد، هذلولوی است ( احتمال اینکه سهموی باشد صفر است ).
    تلسکوپ های بازتابنده نظیر تلسکوپ 200 اینچی هاله 2 ، واقع در کوه پالومار کالیفرنیا، و تلسکوپ فضایی ناسا که قرار بوده در 1988 به فضا پرتاب شود، از آینه های هذلولوی کوچک، همراه با آینه های سهموی بزرگتر استفاده می کنند.

    Click here to enlarge

  6. تشکرها از این نوشته :


  7. #4
    مدیر بازنشسته
    تاریخ عضویت
    Nov 2010
    موقعیت
    مشهد
    ارسالها
    1,812
    تشکر
    8,723
    تشکر شده 6,711 بار در 1,943 پست

    پیشفرض

    معادله ی هذلولی

    با در نظر گرفتن دو نقطه ی ثابت Click here to enlarge و Click here to enlarge موسوم به کانون ها و مقدار ثابت Click here to enlarge، آن گاه نقطه ای چون Click here to enlarge بر هذلولی واقع است اگر و تنها اگر:

    Click here to enlarge

    یا

    Click here to enlarge

    Click here to enlarge

    معادله ی دوم نظیر معادله ی اول می باشد، با این تفاوت که به جای Click here to enlarge، Click here to enlarge قرار گرفته است. لذا می توان در اولی نوشت Click here to enlarge، پس:

    Click here to enlarge

    Click here to enlarge

    Click here to enlarge

    Click here to enlarge


    در این جا Click here to enlarge منفی است زیرا تفاضل دو ضلع مثلث Click here to enlarge از ضلع سوم کوچکتر است یعنی Click here to enlarge. لذا Click here to enlarge مثبت است و یک ریشه ی دوم حقیقی مثبت دارد که آن را با Click here to enlarge نمایش می دهند، پس: Click here to enlarge
    بنابر این معادله ی هذلولی به صورت زیر خواهد بود:

    Click here to enlarge


    که شبیه معادله ی [برای مشاهده لینک ها باید به خانواده بزرگ پرشین وی بپیوندید. ] است. اختلاف آن ها تنها در علامت منفی موجود در معادله ی هذلولی و رابطه ی جدید بین Click here to enlarge، Click here to enlarge و Click here to enlarge است.

    نکته 1: هذلولی نسبت به هر دو محور و نسبت به مبدا متقارن است و با محور Click here to enlarge تقاطعی ندارد. در واقع هیچ بخشی از خم بین خطوط Click here to enlarge و Click here to enlarge قرار نمی گیرد.

    نکته 2: فاصله های Click here to enlarge و Click here to enlarge از روابط زیر به دست می آیند:

    Click here to enlarge

    Click here to enlarge

    در این جا Click here to enlarge از Click here to enlargeبزرگتر است و Click here to enlarge یا در سمت راست خط Click here to enlarge قرار می گیرد (یعنیClick here to enlarge)، یا در سمت چپ خط Click here to enlarge ( یعنیClick here to enlarge).

    نکته 3 : وقتی Click here to enlarge در سمت راست خط Click here to enlarge قرار داشته باشد رابطه ی Click here to enlarge و اگر در سمت چپ Click here to enlarge واقع باشد رابطه ی Click here to enlarge برقرار است.

  8. تشکرها از این نوشته :


  9. #5
    مدیر بازنشسته
    تاریخ عضویت
    Nov 2010
    موقعیت
    مشهد
    ارسالها
    1,812
    تشکر
    8,723
    تشکر شده 6,711 بار در 1,943 پست

    پیشفرض

    مجانب ها

    تعریف: اگر هم زمان با دور شدن نقطه ای چون Click here to enlarge ( واقع بر یک خم ) از مبدا مختصات، فاصله ی آن با خط ثابتی به سمت صفر میل کند، آن گاه چنین خطی را مجانب خم نامند.

    هذلولی Click here to enlarge دو مجانب دارد که عبارت اند از خط های Click here to enlarge.
    چرا که عبارت سمت چپ معادله ی هذلولی را می توان تجزیه کرد و معادله را به صورت:

    Click here to enlarge

    یا
    Click here to enlarge

    نوشت.

    الف) تحلیل معادله ی Click here to enlarge نشان می دهد که یکی از شاخه های خم در ربع اول قرار داشته و تا بی نهایت امتداد دارد. اگر نقطه ی Click here to enlarge واقع بر این شاخه رفته رفته از مبدا دور شود، Click here to enlarge و Click here to enlarge بی نهایت می شوند و عبارت سمت راست معادله ی Click here to enlarge به صفر نزدیک می شود. پس طرف چپ هم باید همین وضع را پیدا کند. در نتیجه:

    Click here to enlarge


    ب) وقتی Click here to enlarge، مشاهده می شود که:

    Click here to enlarge


    چون فاصله ی قائم بین خط و هذلولی وقتی Click here to enlarge، به صفر میل می کند، فاصله ی عمودی بین نقاط هذلولی و خط Click here to enlarge نیز به صفر میل می کند. بنابراین از بندهای (الف) و (ب) نتیجه می شود که خط Click here to enlarge مجانب هذلولی است.
    بنابر تقارن، خط Click here to enlarge نیز مجانب این هذلولی است.

    نکته: گاه مجانب را چنان تعریف می کنند که لازم است وقتی Click here to enlarge، شیب خم به شیب مجانب نزدیک می شود. این تعریف نیز در این جا صادق است چرا که:
    Click here to enlarge

    و این همان شیب مجانب Click here to enlarge است.
    Click here to enlarge

  10. تشکرها از این نوشته :


  11. #6
    مدیر بازنشسته
    تاریخ عضویت
    Nov 2010
    موقعیت
    مشهد
    ارسالها
    1,812
    تشکر
    8,723
    تشکر شده 6,711 بار در 1,943 پست

    پیشفرض

    معادلات متعارف هذلولی هایی که محورهایشان با محورهای مختصات موازی اند و مرکزشان در (h,k) واقع است:

    الف) اگر خط گذرنده از کانون ها موازی با محور Click here to enlarge باشد:

    معادله ی هذلولی:
    Click here to enlarge

    راس ها:
    Click here to enlarge

    کانون ها:
    Click here to enlarge

    مجانب ها:
    Click here to enlarge


    ب) اگر خط گذرنده از کانون ها موازی با محور Click here to enlarge باشد:

    معادله ی هذلولی:
    Click here to enlarge

    راس ها:
    Click here to enlarge

    کانون ها:
    Click here to enlarge

    مجانب ها:
    Click here to enlarge


    ج) معادلات دو بند فوق را می توان با انتقال Click here to enlarge و Click here to enlarge و توجه به این مطلب که معادلات حاصل بر حسب مختصات پریم دار به صورت زیراند به دست آورد:

    Click here to enlarge

    توجه کنید که در معادله ی مجانب مربوط به بند (I)، Click here to enlarge بر Click here to enlarge و در معادله ی مجانب مربوط به بند (II) Click here to enlarge بر Click here to enlarge تقسیم می شود.

  12. تشکرها از این نوشته :


  13. #7
    مدیر بازنشسته
    تاریخ عضویت
    Nov 2010
    موقعیت
    مشهد
    ارسالها
    1,812
    تشکر
    8,723
    تشکر شده 6,711 بار در 1,943 پست

    پیشفرض

    Click here to enlarge
    بیضی

    بیضی مجموعه نقاطی از صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها از دو نقطه ثابت واقع در صفحه مقدار ثابتی می باشد.

    معادله بیضی

    اگر دو نقطه ثابت به نام کانون ها، نقاط Click here to enlarge و Click here to enlarge باشند و مجموع فاصله ها، Click here to enlarge ، با Click here to enlarge نمایش داده شود، آنگاه مختصات نقطه ای چون Click here to enlarge واقع بر بیضی در معادله زیر صدق می کند :
    Click here to enlarge

    Click here to enlarge

    برای ساده کردن این معادله، رادیکال دوم را به سمت راست معادله برده، رابطه حاصل را به توان دو می رسانیم و پس از ساده کردن داریم :
    Click here to enlarge

    چون مجموع دو ضلع مثلث Click here to enlarge یعنی Click here to enlarge ، از ضلع سوم یعنی Click here to enlarge بزرگتر است، عبارت Click here to enlarge در Click here to enlarge مثبت است و ریشه دوم حقیقی مثبت دارد که با Click here to enlarge نمایش داده می شود، Click here to enlarge پس Click here to enlarge بصورت فشرده تر زیر در می آ ید :
    Click here to enlarge

    معادله Click here to enlarge نشان می دهد که این خم نسبت به هر دو محور متقارن است و داخل مستطیلی با اضلاع Click here to enlarge ، Click here to enlarge ، Click here to enlarge و Click here to enlarge قرار دارد. نقاط تقاطع این خم با محورها عبارتند از : Click here to enlarge و Click here to enlarge. خم هر یک از محورها را با زاویه Click here to enlarge قطع می کند زیرا شیب Click here to enlarge در Click here to enlarge ، Click here to enlarge برابر با صفر و در Click here to enlarge ، Click here to enlarge برابر با بی نهایت است.
    نشان داده ایم که مختصات Click here to enlarge در Click here to enlarge صدق می کنند هرگاه Click here to enlarge در شرط هندسی Click here to enlarge صدق کند. حال عکس این مطلب را ثابت می کنیم. فرض کنیم Click here to enlarge در Click here to enlarge با شرط Click here to enlarge صدق کند آنگاه :
    Click here to enlarge

    اگر این مقدار را در رادیکال های زیر قرار دهیم داریم :
    Click here to enlarge

    Click here to enlarge

    چون Click here to enlarge به بازه Click here to enlarge محدود می شود، مقدار Click here to enlarge بین Click here to enlarge قرار می گیرد و لذا هم Click here to enlarge مثبت است و هم Click here to enlarge ،چرا که هر دو بین Click here to enlarge هستند پس قدرمطلق های موجود در روابط فوق را می توان حذف کرد لذا :
    Click here to enlarge

    با جمع کردن این دو می بینیم که مقدار Click here to enlarge به ازای هر موضع Click here to enlarge روی خم، برابر با Click here to enlarge است. پس ویژگی هندسی و معادله جبری فوق هم ارزند.

  14. تشکرها از این نوشته :


  15. #8
    مدیر بازنشسته
    تاریخ عضویت
    Nov 2010
    موقعیت
    مشهد
    ارسالها
    1,812
    تشکر
    8,723
    تشکر شده 6,711 بار در 1,943 پست

    پیشفرض

    محورها

    در معادله Click here to enlarge ، Click here to enlarge از Click here to enlarge کمتر است. قطر بزرگ بیضی پاره خط به طول Click here to enlarge بین نقاط تقاطع بیضی با محور Click here to enlarge ، Click here to enlarge ،است. قطر کوچک آن پاره خط به طول Click here to enlarge بین نقاط تقاطع بیضی با محور Click here to enlarge ، Click here to enlarge ، است. عدد Click here to enlarge را نصف طول قطر بزگ و عدد Click here to enlarge را نصف طول قطر کوچک می نامند.
    معادلات متعارف بیضی هایی که مرکزشان Click here to enlarge است و اقطارشان با محورهای مختصات موازی اند

    الف.
    Click here to enlarge

    قطر بزرگ : افقی
    کانون ها : Click here to enlarge
    راس ها : Click here to enlarge
    ب.
    Click here to enlarge

    قطر بزرگ : قائم
    کانون ها : Click here to enlarge
    راس ها : Click here to enlarge
    در هر حالت Click here to enlarge نصف قطر بزرگ و Click here to enlarge نصف قطر کوچک است.

  16. تشکرها از این نوشته :


  17. #9
    مدیر بازنشسته
    تاریخ عضویت
    Nov 2010
    موقعیت
    مشهد
    ارسالها
    1,812
    تشکر
    8,723
    تشکر شده 6,711 بار در 1,943 پست

    پیشفرض

    خروج از مرکز

    فرض کنیم معادله یک بیضی بصورت زیر داده شده باشد :
    Click here to enlarge

    هر چند Click here to enlarge ، فاصله مرکز بیضی با هر یک از کانون ها، در این معاده به چشم نمی خورد ولی Click here to enlarge را می توان از معادله زیر به دست آورد :
    Click here to enlarge

    اگر Click here to enlarge را ثابت نگه داریم و فاصله کانونی Click here to enlarge را در بازه Click here to enlarge تغییر دهیم،شکل بیضی های حاصل تغییر خواهد کرد. وقتی Click here to enlarge (یعنی Click here to enlarge) این بیضی ها مستدیر هستند و وقتی به مقدار Click here to enlarge افزوده شود، بیضی کشیده تر می شود، تا اینکه در حالت نهایی (Click here to enlarge) بیضی به صورت پاره خط Click here to enlarge در می آید که دو کانون را به هم می پیوندد.
    نسبت Click here to enlarge را خروج از مرکز بیضی می نامند. این عدد از صفر تا یک تغییر می کند و میزان اختلاف شکل بیضی با دایره را نشان می دهد.

  18. تشکرها از این نوشته :



 

اطلاعات تاپیک

Users Browsing this Thread

کاربراني که از تاپيک ديدن ميکنند 1 (0 عضو خانواده 1 مهمان عزيز ما)

     

کلیدواژه های این مبحث

قوانین ارسال

  • نمی توانید موضوع جدید ارسال کنید
  • نمی توانید به موضوعات پاسخ دهید
  • نمی توانید فایل پیوست ضمیمه کنید
  • نمی توانید نوشته خود را ویرایش کنید
  •  
Powered by: vBulletin Version 4.2.1
Copyright © 2000-2006 Jelsoft Enterprises Ltd.
vBFarsi Language Pack Version 4.0 beta1
کلیه حقوق این سایت متعلق به انجمن های پرشین وی می باشد هرگونه کپی برداری از مطالب این سایت پیگرد قانونی دارد
ساعت: 18:25 بوقت GMT +3.5